PRINCÍPIO DA INDUÇÃO MATEMÁTICA

   Queridos amigos leitores, alguma vez nós nos deparamos com algum problema do nosso cotidiano, na qual envolve sempre uma dúvida: é sempre assim desse jeito? Até aonde vai isso? Querendo ou não, temos que recorrer a matemática, pois é a única ciência pode prever o futuro. Se quisermos saber que algo caminha para o infinito, recorremos a um método poderoso conhecido como Princípio da Indução Matemática, que funciona assim:

   1) Se A(1) é verdadeira;
   2) E se, para todo número inteiro positivo k, A(k) implica A(k + 1);
   3) Então, posso dizer que a afirmação A(n) é verdadeira para todo número inteiro positivo n.

   Agora vou explicar para os meus leitores que não são da exata: Imaginem uma fileira de dominó; se derrubarmos a primeira pedra, ela vai cair, e vai derrubar a segunda; então a segunda derruba a terceira; o que nos leva a deduzir que todos irão cair. Como estamos a falar em infinito, vou deixar um desafio para vós:

   Demonstrar que é igual a zero o limite da sucessão f : n --> 1/n quando n tende para o infinito.
 
Solução:
    Devemos demonstrar que, para cada r positivo, é possível determinar um número natural i tal que, para todo n > i, tenhamos ½ f(n) – 0 ½ <  r.
    No caso em estudo temos que:
                       ½ f (n) – 0 ½ = ½ 1/n – 0 ½ = 1/n
    Temos, portanto, que:
                         1/n < r
    Se tomarmos: i > 1/r virá que para todo n > i a desigualdade 1/n < r é satisfeita.
    Portanto, podemos concluir que lim [1/n], quando n ® ¥, é = 0.
Observação:
    Toda variável x = f(n) que tende para zero é denominada de infinitésimo. Assim 1/n é um infinitésimo quando n ® ¥.


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